Question

已知函数，其中a∈R．

（I）求证：函数f（x）为奇函数；

（II）若a=3，求函数f（x）的极值．

Answer 1

考点：

利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．

专题：

导数的综合应用．

分析：

（I）利用奇函数的定义，即可得到结论；

（II）求导函数，利用导数的正负，确定函数的单调性，从而可求函数f（x）的极值．

解答：

解：（I）函数的定义域为{x|x∈R且x≠0}．（1分）

因为，

所以函数为奇函数，（5分）

（II）因为，

所以．（8分）

令f′（x）=0，解得x=±1．（9分）

当x变化时，f（x）与f′（x）的变化情况如下表：

x	（﹣∞，﹣1）	﹣1	（﹣1，0）	（0，1）	1	（1，+∞）
f′（x）	+	0	﹣	﹣	0	+
f（x）		极大值			极小值

（11分）

所以当x=﹣1时，f（x）有极大值f（﹣1）=﹣4，当x=1时，f（x）有极小值f（1）=4．（13分）

点评：

本题考查函数的奇偶性，考查函数的单调性与极值，考查导数知识的运用，属于中档题．