Question

（2012•安徽模拟）若曲线f(x)=

1

2

sinx-

3

2

cosx的切线的倾斜角为α，则α的取值范围是

[0，

π

4

]∪[

3π

4

，π)

．

Answer 1

分析：先求出导数f^′（x），根据导数的几何意义即可得到tanα的取值范围，再利用正切函数的单调性及倾斜角的取值范围即可解出α的取值范围．

解答：解：∵f(x)=

1

2

sinx-

3

2

cosx，
∴f′(x)=

1

2

cosx+

3

2

sinx=sin(x+

π

6

)∈[-1，1]，
∴-1≤tanα≤1，又α∈[0，π），
解得α∈[0，

π

4

]∪[

3π

4

，π)．

故α的取值范围是α∈[0，

π

4

]∪[

3π

4

，π)．

点评：理解导数的几何意义和正确计算是解题的关键．