Question

如图，四棱锥中， ∥,，侧面为等边三角形..

(I)              证明：

(II)          求AB与平面SBC所成角的大小。

Answer 1

【思路点拨】第（I）问的证明的突破口是利用等边三角形SAB这个条件，找出AB的中点E，连结SE，DE，就做出了解决这个问题的关键辅助线。

(II)本题直接找线面角不易找出，要找到与AB平行的其它线进行转移求解。

【精讲精析】证明：（I）取AB中点E，连结DE，则四边形BCDE为矩形，DE=CB=2。

连结SE，则

又SD=1，故

所以为直角。

由，得

,所以.

SD与两条相交直线AB、SE都垂直。

所以

（II）由知，

作，垂足为F，则,

作，垂足为G，则FG=DC=1。

连结SG，则

又，,故，

作，H为垂足，则.

即F到平面SBC的距离为。

由于ED//BC，所以ED//平面SBC，E到平面SBC的距离d也为。

设AB与平面SBC所成的角为，则,.

解法二：

以C为坐标原点，射线CD为x轴正半轴，建立如图所示的直角坐标系C-xyz,设D（1，0，0），则A（2，2，0），B（0，2，0）。

又设S（x,y,z），则x>0,y>0,z>0.

(I)

由得

故x=1.

由得，

又由得，

即，故。

于是，

故，又

所以.

（II）设平面SBC的法向量，

则

又

故

取得，又

.

故AB与平面SBC所成的角为.