Question

已知点A（-1，0），B（2，0），动点M满足2∠MAB=∠MBA，求点M的轨迹方程．

Answer 1

分析：如何体现动点M满足的条件2∠MAB=∠MBA是解决本题的关键．用动点M的坐标体现2∠MAB=∠MBA的最佳载体是直线MA、MB的斜率．

解答：解：设M（x，y），∠MAB=α，则∠MBA=2α，它们是直线MA、MB的倾角还是倾角的补角，
与点M在x轴的上方还是下方有关；以下讨论：
①若点M在x轴的上方，α∈（0⁰，90⁰），y＞0，
此时，直线MA的倾角为α，MB的倾角为π-2α，
∴tanα=k_MA=

y

x+1

，tan(π-2α)=

y

x-2

，（2α≠90⁰）
∵tan（π-2α）=-tan2α，∴-

y

x-2

=

2• y x+1

1- y2 (x+1)2

，
得：x²-

y2

3

=1，∵|MA|＞|MB|，∴x＞1．
当2α=90°时，α=45°，△MAB为等腰直角三角形，此时点M的坐标为（2，3），它满足上述方程．
②当点M在x轴的下方时，y＜0，同理可得点M的轨迹方程为x²-

y2

3

=1（x≥1），
③当点M在线段AB上时，也满足2∠MAB=∠MBA，此时y=0（-1＜x＜2）．
综上所求点的轨迹方程为x²-

y2

3

=1（x≥1）或y=0（-1＜x＜2）．

点评：求曲线的轨迹方程常采用的方法有直接法、定义法、代入法、参数法，本题主要用直接法，直接法是将动点满足的几何条件或者等量关系，直接坐标化，列出等式化简即得动点轨迹方程．