Question

选修4﹣4：坐标系与参数方程

在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数）．在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，圆C的方程为．

（Ⅰ）求圆C的直角坐标方程；

（Ⅱ）设圆C与直线l交于点A，B，若点P的坐标为（3，），求|PA|+|PB|．

Answer 1

考点：

直线的参数方程；直线与圆相交的性质；简单曲线的极坐标方程．

专题：

计算题．

分析：

（Ⅰ）把两边同时乘以ρ，把 x=ρcosθ，y=ρsinθ 代入可得圆C的直角坐标方程．

 （Ⅱ）将l的参数方程代入圆C的直角坐标方程，得 t²﹣3t+4=0，根据直线l的参数方程中参数的几何意义可得|PA|+|PB|=|t₁|+|t₂|=t₁+t₂，再利用一元二次方程根与系数的关系求出结果．

解答：

解：（Ⅰ）由 得 x²+y²﹣2y=0 即 x²+=5．

（Ⅱ）将l的参数方程代入圆C的直角坐标方程，得 +=5，即 t²﹣3t+4=0．

由于△=﹣4×4=2＞0，故可设 t₁、t₂是上述方程的两实根，所以 ．

直线l过点P（3，），故由上式及t的几何意义得：|PA|+|PB|=|t₁|+|t₂|=t₁+t₂=3．

点评：

本小题主要考查直线的参数方程、圆的极坐标方程、直线与圆的位置关系等基础知识，考查运算求解能力．