Question

设函数y=f(x)(x∈R，x≠0)对于任意非零实数x₁，x₂满足f(x₁x₂)=f(x₁)+f(x₂)，且f(x)在(0，+∞)内为增函数.

    (Ⅰ)求f(1)和f(-1)的值；

    (Ⅱ)判断f(x)的奇偶性并证明；

    (Ⅲ)若f(2)=1，解不等式f(x+1)+f(x-2)≤2．

Answer 1

答案：解：(Ⅰ)令x₁=x₂=1可得f(1)=2f(1)，

解得f(1)=0，

令x₁=x₂=-1可得f(1)=2f(-1)=0，

解得f(-1)=0．

(Ⅱ)∵f(x₁x₂)=f(x₁)+f(x₂)，

∴f(-x)=f(-1)+f(x)=f(x)，

即f(-x)=f(x)，

∴函数f(x)为R上的偶函数．

(Ⅲ)∵f(2)=1，∴f(4)=f(2)+f(2)=2．

∵f(x+1)+f(x-2)≤2，

∴f[(x+1)(x-2)]≤f(4)．

又∵函数f(x)为偶函数，且f(x)在(0，+∞)为增函数，

∴f(x)在(-∞，0)为减函数．

∴0＜|(x+1)(x-2)|≤4，

即

解之得x∈[-2，-1)∪(-1，2)∪(2，3]．