Question

已知函数f（x）=

ax+1

x+2

．
（1）若a=1，判断函数f（x）在（-2，+∞）上的单调性并用定义证明；
（2）若函数f（x）=

ax+1

x+2

在（-2，+∞）上是增函数，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）a=1，解析式明确，直接根据定义判断并证明单调性即可．
（2）受第一问的启发，可由单调性知道f（x₁）-f（x₂）的符号，从而列出关于a的不等式．

解答：解：（1）当a=1时，f(x)=

x+1

x+2

，函数f（x）在（-2，+∞）上单调递增．
下面证明：
设-2＜x₁＜x₂，
则f(x1)-f(x2)=

x1+1

x1+2

-

x2+1

x2+2

=

x1-x2

(x1+2)(x2+2)

∵-2＜x₁＜x₂
∴x₁-x₂＜0，x₁+2＞0，x₂+2＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂）
所以函数f（x）在（-2，+∞）上单调递增．
（2）设-2＜x₁＜x₂，
因为函数f（x）在（-2，+∞）上单调递增，
所以有f(x1)-f(x2)=

ax1+1

x1+2

-

ax2+1

x2+2

=

(2a-1)(x1-x2)

(x1+2)(x2+2)

＜0，
∵-2＜x₁＜x₂
∴x₁-x₂＜0，x₁+2＞0，x₂+2＞0，
所以2a-1＞0，即a＞

1

2

，
所以实数a的取值范围是(

1

2

，+∞)．

点评：本题主要考察函数单调性的定义，主要是第二问关于a的不等式的获得．