Question

已知y_n=2log_ax_n（a＞0且a≠1，n∈N^*），已知y₄=17，y₇=11．
（1）求证：数列{y_n}是等差数列；
（2）数列{y_n}的通项公式；
（3）数列{y_n}的前多少项的和为最大？最大值为多少？

Answer 1

分析：（1）要证明数列{y_n}为等差数列，只要证明y_n+1-y_n为常数（n≥1）．
（2）由y₄=17，y₇=11，结合等差数列的通项公式可求y₁，d，进而可求
（3）令

yn≥0 yn+1≤0.

可得n的范围，结合n∈N^*可求n，代入可求
（3）由（2）知，当n＞12时，y_n＜0成立，由y_n，可求x_n．结合已知范围可求a的范围
当a＞1，且n＞12时，有x_n=a^

ya

2

＜a⁰=1．
这与题意不符，故0＜a＜1．
由0＜a＜1，且n＞12，有x_n=a^

ya

2

≥a^-

1

2

＞2．
故所求a的取值范围为0＜a＜

1

4

．

解答：（1）证明：∵y_n+1-y_n=2log_a（

1

2

）ⁿ⁺¹-2log_a（

1

2

）ⁿ=2log_a（

1

2

）常数（n≥1）．
∴数列{y_n}为等差数列．
（2）设数列{y_n}的公差为d，由y₄=17，y₇=11．
得

y1+3d=17 y1+6d=11.

解得y₁=23，d=-2，
∴y_n=25-2n．
即数列{yn}的通项为y_n=25-2n（n≥1）．
（3）解：令

yn≥0 yn+1≤0.

得

25-2n≥0 23-2n≤0.

∵n∈N^*．
∴n=12．
∴{y_n}的前12项之和最大，最大值为S₁₂=144．
（3）由（2）知，当n＞12时，y_n＜0成立．
∵y_n=2log_ax_n，
∴x_n=a^

ya

2

．
当a＞1，且n＞12时，有x_n=a^

ya

2

＜a⁰=1．
这与题意不符，故0＜a＜1．
由0＜a＜1，且n＞12，有x_n=a^

ya

2

≥a^-

1

2

＞2．
故所求a的取值范围为0＜a＜

1

4

．

点评：本题主要考查了等差数列的判断、等差数列的通项公式及求和公式的应用，和的最值的判断及求解