Question

已知f(x)=,

(1)判断f(x)的单调性和奇偶性,并说明理由;

(2)若f(x)的定义域为［a,b］时,其值域也为［a,b］(其中a＜b),试求所有实数a、b的值.

Answer 1

解：(1)f(x)在(-∞,+∞)上为奇函数且为增函数,

    设x₁＞x₂,则f(x₁)-f(x₂)=4.

    由于x₁-x₂＞0,且当x₁x₂≥0时,x₁|x₂|-x₂|x₁|=0;

x₁x₂＜0时,则x₁＞0,x₂＜0,x₁|x₂|-x₂|x₁|＞0;

    故总有f(x₁)＞f(x₂).

    从而f(x)为增函数(为奇函数的证明略).

(2)由(1)知f(a)=a,f(b)=b,

    解得a=-3,b=0或a=-3,b=3或a=0,b=3.