Question

设函数f(x)=(x+1)ln(x+1)，若对所有的x≥0都有f(x)≥ax成立，求实数a的取值范围.

Answer 1

解析：解法1：令g(x)=(x+1)ln(x+1)-ax，对函数g(x)求导数：

g′(x)=ln(x+1)+1-a，

    令g′(x)=0，解得x=e^a-1-1.

(1)当a≤1时，对所有x＞0,g′(x)＞0,

    所以g(x)在［0，+∞)上是增函数.

    又g(0)=0，所以对x≥0，有g(x)≥g(0),

    即当a≤1时，对于所有x≥0，都有f(x)≥ax.

(2)当a＞1时，对于0＜x＜e^a-1-1，g′(x)＜0,

    所以g(x)在(0,e^a-1-1)是减函数.

    又g(0)=0，所以对0＜x＜e^a-1-1，有

g(x)＜g(0)，即f(x)＜ax.

    所以当a＞1时，不是对所有的x≥0，都有f(x)≥ax成立.

    综上a的取值范围是(-∞,1］.

解法2：令g(x)=(x+1)ln(x+1)-ax，

    于是不等式f(x)≥ax成立即为g(x)≥g(0)成立.

    对g(x)求导数得g′(x)=ln(x+1)+1-a,

    令g′(x)=0，解得x=e^a-1-1,

    当x＞e^a-1-1时，g′(x)＞0，g(x)为增函数，

    当-1＜x＜e^a-1-1时，g′(x)＜0，g(x)为减函数.

    要对所有x≥0都有g(x)≥g(0)充要条件为e^a-1-1≤0.

    由此得a≤1，即a的取值范围是(-∞,1].