Question

设f（x）是（-∞，+∞）上的奇函数，且f（x+2）=-f （x），当0≤x≤1时，f（x）=x．
（I）求f（π）的值；
（II）当-4≤x≤4时，求f（x）的图象与x轴围成图形的面积．

Answer 1

解：（I）由f（x+2）=-f（x），
得f（x+4）=f[（x+2）+2]
=-f（x+2）=f（x），
所以f（x）是以4为周期的周期函数，
从而得f（π）=f（-1×4+π）
=f（π-4）=-f（4-π）=-（4-π）=π-4．
（II）由f（x）是奇函数且f（x+2）=-f（x），
得f[（x-1）+2]=-f（x-1）=f[-（x-1）]，
即f（1+x）=f（1-x），
故知函数y=f（x）的图象关于直线x=1对称．
又0≤x≤1时，f（x）=x，
且f（x）的图象关于原点成中心对称，
则f（x）的图象如图所示．

当-4≤x≤4时，设f（x）的图象与x轴围成的图形面积为S，
则S=4×（）=4．
分析：（I）由f（x+2）=-f（x），知f（x）是以4为周期的周期函数，从而能求出f （π）．
（II）由f（x）是奇函数且f（x+2）=-f（x），知函数y=f（x）的图象关于直线x=1对称．由此能够求出当-4≤x≤4时，设f（x）的图象与x轴围成的图形面积为S．
点评：本题考查函数的奇偶性、周期性、对称性的应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．