Question

10．已知函数f（x）=ax³+bx²-3x在x=±1处取得极值．
（1）求a，b的值：
（2）讨论f（1）和f（-1）是函数f（x）的极大值还是极小值．

Answer 1

分析 （1）先求出函数的导数，结合函数的极值得到方程组，解出a，b的值即可；
（2）通过（1）求出函数的解析式，得到函数的导数，通过讨论x的范围，从而得到函数的极大值和极小值即可．

解答 解　（1）f′（x）=3ax²+2bx-3，依题意，--------------（1分）
f′（1）=f′（-1）=0，------（3分）
即$\left\{\begin{array}{l}{3a+2b-3=0}\\{3a-2b-3=0}\end{array}\right.$，解得a=1，b=0．---------（5分）
（2）f（x）=x³-3x，f′（x）=3x²-3=3（x+1）（x-1）．
令f′（x）=0，得x=-1，x=1．----------（7分）
若x∈（-∞，-1）∪（1，+∞），则f′（x）＞0，
故f（x）在（-∞，-1）上是增函数，f（x）在（1，+∞）上是增函数．
若x∈（-1，1），则f′（x）＜0，
故f（x）在（-1，1）上是减函数．------------（10分）
所以f （-1）=2是极大值，f（1）=-2是极小值．-----------（12分）

点评 本题考查了函数的单调性．极值问题，考查导数的应用，是一道中档题．