Question

已知等比数列{a_n}中，S_n为前n项和且a₁+a₃=5，S₄=15，
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式．
（Ⅱ）设b_n=

5

2

log₂a_n，求b_n的前n项和T_n的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）设等比数列{a_n}的公比为q，则有题意可得 q≠1．由a₁+a1q2=5，

a1(1-q4)

1-q

=15，求出首项和公比，即可得到数列{a_n}的通项公式．
（Ⅱ）先求出 b_n=

5

2

log₂a_n =

5

2

（n-1），利用等差数列的前n项和公式{b_n}前n项和T_n 的值．

解答：解：（Ⅰ）设等比数列{a_n}的公比为q，则有题意可得 q≠1．由a₁+a1q2=5，

a1(1-q4)

1-q

=15，解得 q=2，a₁ =1．
∴a_n=2^n-1．
（Ⅱ）∵b_n=

5

2

log₂a_n =

5

2

 （n-1），
∴b_n的前n项和T_n =

5

2

[0+1+2+3+…+（n-1）]=

5

2

×

(n-1)(1+n-1)

2

=

5n(n-1)

4

．

点评：本题主要考查等比数列的通项公式，等比数列的前n项和公式，以及等差数列的前n项和公式的应用，属于基础题．