Question

6．已知二阶矩阵A有特征值λ₁=3及其对应的一个特征向量$\overrightarrow{a}$₁=$[\begin{array}{l}{1}\\{1}\end{array}]$，特征值λ₂=-1及其对应的一个特征向量$\overrightarrow{a}$₂=$[\begin{array}{l}{1}\\{-1}\end{array}]$，
（1）求矩阵A；  
（2）求矩阵A的逆矩阵A^-1．

Answer 1

分析 （1）利用特征值与特征向量的定义，建立方程组，即可求得A；
（2）求出|A|，即可求得逆矩阵A^-1．

解答 解：（1）设A=$[\begin{array}{l}{a}&{b}\\{c}&{d}\end{array}]$，则
∵二阶矩阵A有特征值λ₁=3及其对应的一个特征向量$\overrightarrow{a}$₁=$[\begin{array}{l}{1}\\{1}\end{array}]$，特征值λ₂=-1及其对应的一个特征向量$\overrightarrow{a}$₂=$[\begin{array}{l}{1}\\{-1}\end{array}]$，
∴$[\begin{array}{l}{a}&{b}\\{c}&{d}\end{array}]$$[\begin{array}{l}{1}\\{1}\end{array}]$=3$[\begin{array}{l}{1}\\{1}\end{array}]$，$[\begin{array}{l}{a}&{b}\\{c}&{d}\end{array}]$$[\begin{array}{l}{1}\\{-1}\end{array}]$=-$[\begin{array}{l}{1}\\{-1}\end{array}]$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a+b=3}\\{c+d=3}\end{array}\right.$且$\left\{\begin{array}{l}{a-b=-1}\\{c-d=1}\end{array}\right.$，
∴a=1，b=2，c=2，d=1，
∴A=$[\begin{array}{l}{1}&{2}\\{2}&{1}\end{array}]$；
（2）|A|=1-4=-3，
∴A^-1=$[\begin{array}{l}{-\frac{1}{3}}&{\frac{2}{3}}\\{\frac{2}{3}}&{-\frac{1}{3}}\end{array}]$．

点评 本题主要考查了二阶矩阵，以及特征值与特征向量的计算，考查逆矩阵，正确理解特征值与特征向量是关键，属于中档题．