Question

如图，在三棱柱ABC﹣A₁B₁C₁中，侧面ABB₁A₁，ACC₁A₁均为正方形，∠BAC=90°，点D是棱B₁C₁的中点．
（Ⅰ）求证：A₁D⊥平面BB₁C₁C；
（Ⅱ）求证：AB₁平面A₁DC；
（Ⅲ）求二面角D﹣A₁C﹣A的余弦值．

Answer 1

（Ⅰ）证明：因为侧面ABB₁A₁，ACC₁A₁均为正方形，
所以AA₁⊥AC，AA₁⊥AB，
所以AA₁⊥平面ABC，三棱柱ABC﹣A₁B₁C₁是直三棱柱．
因为A₁D平面A₁B₁C₁，
所以CC₁⊥A₁D，
又因为A₁B₁=A₁C₁，D为B₁C₁中点，
所以A₁D⊥B₁C₁．
因为CC₁∩B₁C₁=C₁，
所以A₁D⊥平面BB₁C₁C．
（Ⅱ）证明：连接AC₁，交A₁C于点O，连接OD，
因为ACC₁A₁为正方形，
所以O为AC₁中点，
又D为B₁C₁中点，
所以OD为△AB₁C₁中位线，所以AB₁OD，
因为OD平面A₁DC，AB₁平面A₁DC，
所以AB₁平面A₁DC．
（Ⅲ）解：因为侧面ABB₁A₁，ACC₁A₁均为正方形，∠BAC=90°，
所以AB，AC，AA₁两两互相垂直，
如图所示建立直角坐标系A﹣xyz．设AB=1，则.，设平面A₁DC的法向量为n=（x，y，z），
则有，，x=﹣y=﹣z，
取x=1，得n=（1，﹣1，﹣1）．
又因为AB⊥平面ACC₁A₁，所以平面ACC₁A₁的法向量为，
，
因为二面角D﹣A₁C﹣A是钝角，
所以，二面角D﹣A₁C﹣A的余弦值为．