Question

设f（x）是定义在R上的可导函数，且满足f′（x）＞f（x），对任意的正数a，下面不等式恒成立的是（　　）

• A．f（a）＜e^af（0）
• B．f（a）＞e^af（0）
• C．f(a)＜

  f(0)

  ea

• D．f(a)＞

  f(0)

  ea

Answer 1

分析：根据选项令f（x）=

f(x)

ex

，可以对其进行求导，根据已知条件f′（x）＞f（x），可以证明f（x）为增函数，可以推出f（a）＞f（0），在对选项进行判断；

解答：解：∵f（x）是定义在R上的可导函数，
∴可以令f（x）=

f(x)

ex

，
∴f′（x）=

exf′(x)-f(x)ex

(ex)2

=

ex[f′(x)-f(x)]

(ex)2

，
∵f′（x）＞f（x），e^x＞0，
∴f′（x）＞0，
∴f（x）为增函数，
∵正数a＞0，
∴f（a）＞f（0），
∴

f(a)

ea

＞

f(0)

e0

=f（0），
∴f（a）＞e^af（0），
故选B．

点评：此题主要考查利用导数研究函数单调性，此题要根据已知选项令特殊函数，是一道好题；