Question

已知抛物线C₁：y=x²+2x和C₂：y=-x²+a，如果直线l同时是C₁和C₂的切线，称l是C₁和C₂的公切线，公切线上两个切点之间的线段，称为公切线段。

（1）a取什么值时，C₁和C₂有且仅有一条公切线？写出此公切线的方程；

（2）若C₁和C₂有两条公切线，证明相应的两条公切线段互相平分。

 

Answer 1

答案：
解析：

（1）解析  函数y=x2+2x的导数y¢=2x+2，曲线C1在点的切线方程是： ，即                        ① 函数y=-x2+a的导数y¢=-2x，曲线C2在点的切线方程是： ，即。                           ② 如果直线l是过P和Q的公切线，则①式和②式都是l的方程，所以。消去x2得方程。 若判别式D=4-4´2(1+a)=0，即时解得，此时点P与Q重合，即当时C1和C2有且仅有一条公切线，由①得公切线方程为。 （2）证明：由（1）可知，当时，C1和C2有两条公切线。 设一条公切线上切点为：P(x1，y1)，Q(x2，y2)。其中P在C1上，Q在C2上，则有x1+x2=-1，。 线段PQ的中点为。同理，另一条公切线段P¢Q¢的中点也是。所以公切线段PQ和P¢Q¢互相平分。