Question

已知集合A={x|（x-2）[x-（3a+1）]＜0}，集合B={x|

x-2a

x-(a2+1)

＜0}．
（1）当a=2时，求A∩B；
（2）当a＞

1

3

时，若A∪B=A，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）把a=2分别代入集合A，B，先化简集合A，B，即可求出A∩B．
（2）对a分类讨论，再由A∪B=A，得B⊆A，进而得出a满足的条件．

解答：解：（1）当a=2时，由（x-2）（x-7）＜0，解得2＜x＜7，∴A={x|2＜x＜7}．
由

x-4

x-5

＜0，解得4＜x＜5，∴B={x|4＜x＜5}．
∴A∩B={x|4＜x＜5}．
（2）当a=1时，B=∅，满足A∪B=A，适合条件，∴a=1．
当a＞

1

3

时，且a≠1时，∵a²+1-2a=（a-1）²＞0，∴B={x|2a＜x＜a²+1}．
∵3a+1＞2，∴A={x|2＜x＜3a+1}．
∵A∪B=A，∴B⊆A，
∴a必须满足

2a≥2 a2+1≤3a+1

且a≠1，解得1＜a≤3．
综上可知：a的取值范围是{a|1≤a≤3}．

点评：本题考查了集合的运算，正确解不等式化简集合和分类讨论是解决问题的关键．