Question

为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层。某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元，该建筑物每年的能源消耗费用C(单位：万元)与隔热层厚度x(单位：cm)满足关系：，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和，
(Ⅰ)求k的值及f(x)的表达式；
(Ⅱ)隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小，并求最小值。

Answer 1

解：(Ⅰ)设隔热层厚度为xcm，
由题设，每年能源消耗费用为，
再由C(0)=8，得k=40，因此，
而建造费用为C₁(x)=6x，
最后得隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为
；
(Ⅱ)，
令f′(x)=0，即，解得（舍去），
当0＜x＜5时，f′(x)＜0，当5＜x＜10时，f′(x)＞0，
故x=5是f(x)的最小值点，对应的最小值为=70，
当隔热层修建5cm厚时，总费用达到最小值70万元。