Question

已知点P(10,0),Q为圆x²+y²=16上一动点.当Q在圆上运动时,求PQ的中点M的轨迹方程.

Answer 1

活动:学生回想求曲线方程的方法与步骤,思考讨论,教师适时点拨提示,本题可利用平面几何的知识,过中点作中线,利用中线定长可得方程,再就是利用求曲线方程的办法来求.

解法一:如图2,作MN∥OQ交x轴于N,

图2

则N为OP的中点,即N(5,0).

因为|MN|=|OQ|=2(定长).

所以所求点M的轨迹方程为(x-5)²+y²=4.

点评:用直接法求轨迹方程的关键在于找出轨迹上的点应满足的几何条件,然后再将条件代数化.但在许多问题中,动点满足的几何条件较为隐蔽复杂,将它翻译成代数语言时也有困难,这就需要我们探讨求轨迹问题的新方法.转移法就是一种很重要的方法.用转移法求轨迹方程时,首先分析轨迹上的动点M的运动情况,探求它是由什么样的点控制的.

解法二:设M(x,y)为所求轨迹上任意一点Q(x₀,y₀).

因为M是PQ的中点,所以即               (_*)

又因为Q(x₀,y₀)在圆x²+y²=16上,所以x₀²+y₀²=16.

将(_*)代入得(2x-10)²+(2y)²=16.故所求的轨迹方程为(x-5)²+y²=4.

点评:相关点法步骤:①设被动点M(x,y),主动点Q(x₀,y₀).

②求出点M与点Q坐标间的关系                    (Ⅰ)

③从(Ⅰ)中解出                                      (Ⅱ)

④将(Ⅱ)代入主动点Q的轨迹方程(已知曲线的方程),化简得被动点的轨迹方程.

这种求轨迹方程的方法也叫相关点法,以后要注意运用.