Question

设数列{a_n}的前n项和为S_n，满足Sn=an+1-2n+1+1，(n∈N*)，且a₁=1．
（Ⅰ）求a₂，a₃的值；
（Ⅱ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅲ）设数列{b_n}的前n项和为T_n，且bn=

an+1-1

an+1+2

，证明：对一切正整数n，都有：n-

3

2

＜Tn＜n-

1

4

．

Answer 1

分析：（Ⅰ）在给出的递推式中，分别取n=1，2，把a₁=1代入即可求得a₂，a₃的值；
（Ⅱ）根据给出的递推式，取n=n-1可得另一递推式，两式作差后可得an+1=2an+2n(n≥1)，把此等式两边同时除以2ⁿ，得到新数列{

an

2n-1

}是以1为首项，1为公差的等差数列，写出其通项公式，则数列{a_n}的通项公式可求；
（Ⅲ）把（Ⅱ）中求出的a_n代入bn=

an+1-1

an+1+2

，整理后得b_n=

(n+1)•2n-1

(n+1)•2n+2

=1-

3

(n+1)•2n+2

，把该式放大缩小后利用等比数列的求和公式可证明n-

3

2

＜Tn＜n-

1

4

．

解答：（Ⅰ）解：∵Sn=an+1-2n+1+1（n∈N^*），且a₁=1，
∴S1=a2-22+1，a1=a2-22+1，∴a₂=4，
S2=a3-23+1，a1+a2=a3-23+1，∴a₃=12；
（Ⅱ）解：由Sn=an+1-2n+1+1，(n∈N*)①，
得Sn-1=an-2n+1，（n∈N^*，n≥2）②，
①-②得：an=an+1-an-2n，即an+1=2an+2n(n≥2)，
检验知a₁=1，a₂=4满足an+1=2an+2n(n≥2)．
∴an+1=2an+2n(n≥1)．
变形可得

an+1

2n

=

an

2n-1

+1(n≥1)．
∵

a1

21-1

=

1

20

=1，
∴数列{

an

2n-1

}是以1为首项，1为公差的等差数列．
∴

an

2n-1

=1+(n-1)×1=n，
则an=n•2n-1(n≥1)；
（Ⅲ）证明：由（Ⅱ）知an=n•2n-1(n≥1)，代入bn=

an+1-1

an+1+2

得b_n=

(n+1)•2n-1

(n+1)•2n+2

=1-

3

(n+1)•2n+2

，
∵22n+1-(n+1)•2n-2=(2n+1-n-1-

1

2n-1

)2n＞0，
∴（n+1）•2ⁿ+2＜2²ⁿ⁺¹
又∵2ⁿ⁺¹＜（n+1）•2ⁿ+2，
∴2ⁿ⁺¹＜（n+1）•2ⁿ+2＜2²ⁿ⁺¹，
则

3

22n+1

＜

3

(n+1)•2n+2

＜

3

2n+1

∴1-

3

2n+1

＜1-

3

(n+1)•2n+2

＜1-

3

22n+1

∴1-

3

2n+1

＜bn＜1-

3

22n+1

∴n-(

3

22

+

3

23

+…+

3

2n+1

)＜Tn＜n-(

3

23

+

3

25

+…+

3

22n+1

)
即n-3×

1 4 [1-( 1 2 )n]

1- 1 2

＜Tn＜n-3×

1 8 [1-( 1 4 )n]

1- 1 4

∴n-

3

2

[1-(

1

2

)n]＜Tn＜n-

1

2

[1-(

1

4

)n]
∴n-

3

2

＜Tn＜n-

1

2

＜n-

1

4

．

点评：本题考查了由递推式确定等比关系，考查了等比数列的前n项和公式，考查了利用放缩法证明不等式，解答此题的关键是不等式的证明，对数列{b_n}通项的放缩体现了学生观察问题和分析问题的能力，此题是有一定难度题目．