Question

在三棱锥S－ABC中，△ABC是边长为4的正三角形，平面SAC⊥平面ABC，SA＝SC＝2，M、N分别为AB、SB的中点．

(Ⅰ)证明：AC⊥SB；

(Ⅱ)求二面角N－CM－B的余弦值．

Answer 1

答案：
解析：

解：解法一：(Ⅰ)取AC中点D，连结SD、DB． 　　∵SA＝SC，AB＝BC， 　　∴AC⊥SD且AC⊥BD　　2分 　　∴AC⊥平面SDB，又SB平面SDB， 　　∴AC⊥SB　　4分 　　(Ⅱ)∵AC⊥平面SDB，AC平面ABC， 　　∴平面SDB⊥平面ABC． 　　过N作NE⊥BD于E，NE⊥平面ABC，过E作EF⊥CM于F，连结NF， 　　则NF⊥CM． 　　∴∠NFE为二面角N－CM－B的平面角　　6分 　　∵平面SAC⊥平面ABC，SD⊥AC，∴SD⊥平面ABC． 　　又∵NE⊥平面ABC，∴NE∥SD． 　　∵SN＝NB，∴NE＝SD＝＝＝，且ED＝EB． 　　在正△ABC中，由平几知识可求得EF＝MB＝， 　　在Rt△NEF中，tan∠NFE＝＝2，∠NFE＝ 　　∴二面角N－CM－B的余弦值为　　8分 　　(Ⅲ)在Rt△NEF中，NF＝＝， 　　∴S△CMN＝CM·NF＝，S△CMB＝BM·CM＝2　　10分 　　设点B到平面CMN的距离为h， 　　∵VB－CMN＝VN－CMB，NE⊥平面CMB，∴S△CMN·h＝S△CMB·NE， 　　∴h＝＝．即点B到平面CMN的距离为　　12分 　　解法二：(Ⅰ)取AC中点O，连结OS、OB．∵SA＝SC，AB＝BC， 　　∴AC⊥SO且AC⊥BO． 　　∵平面SAC⊥平面ABC，平面SAC∩平面ABC＝AC 　　∴SO⊥面ABC，∴SO⊥BO． 　　如图所示建立空间直角坐标系O－xyz　　2分 　　则A(2，0，0)，B(0，2，0)， 　　C(－2，0，0)，S(0，0，2)， 　　M(1，，0)，N(0，，)． 　　∴＝(－4，0，0)，＝(0，2，2)， 　　∵·＝(－4，0，0)·(0，2，2)＝0　　3分 　　∴AC⊥SB　　4分 　　(Ⅱ)由(Ⅰ)得＝(3，，0)，＝(－1，0，)．设n＝(x，y，z)为平面CMN的一个法向量， 　　 　　则取z＝1，则x＝，y＝－　　6分 　　∴n＝(，－，1)， 　　又＝(0，0，2)为平面ABC的一个法向量， 　　∴cos(n，)＝＝　　7分 　　∴二面角N－CM－B的余弦值为　　8分 　　(Ⅲ)由(Ⅰ)(Ⅱ)得＝(－1，，0)，n＝(，－，1)为平面CMN的一个法向量，∴点B到平面CMN的距离d＝＝　　12分