Question

烟囱向其周围散落烟尘造成环境污染．已知落在地面某处的烟尘浓度与该处到烟囱的距离的平方成反比，而与该烟囱喷出的烟尘量成正比．现有A，B两座烟囱相距20km，其中B烟囱喷出的烟尘量是A烟囱的8倍，试求出两座烟囱连线上的一点C，使该点的烟尘浓度最低．

Answer 1

分析：设B处烟尘量为1，则A处烟尘量为8，根据烟尘浓度与到烟囱距离的关系可求得A、B在C处的烟尘浓度，然后两者相加可得y关于x的函数；再进行求导，然后令导函数等于0求x的值，然后判断原函数的单调性进而可求得最小值．

解答：解：不妨设A烟囱喷出的烟尘量为1，则B烟囱喷出的烟尘量为8，
由AC=x（0＜x＜20），可得BC=20-x．           …（2分）
C处的烟尘浓度y的函数表达式为y=

k

x2

+

k•8

(20-x)2

（0＜x＜20）．…（4分）
求导得y′=-

2k

x3

+

16k

(20-x) 3

=

2k(9x3-60x2+1200x-8000)

x3(20-x)3

…（8分）
令y′=0，得（3x-20）（3x²+400）=0，
∵0＜x＜20，
∴x=

20

3

…（11分）
∵当x∈（0，

20

3

）时y′＜0，当x∈（

20

3

，20）时y′＞0，
∴当x=

20

3

时，y有最小值．   …（12分）
故存在点C，当AC=

20

3

km时，该点的烟尘浓度最低．…（13分）

点评：本题以环保为素材，考查函数模型的构建，考查根据导数求函数的最值的问题．属中档题．