Question

设数列{a_n}中，S_n是它的前n项和，a₁=4，na_n+1=S_n+n(n+1)对任意n∈N^*均成立．

(Ⅰ)求证：数列{a_n}是等差数列；

(Ⅱ)设数列{b_n}满足b_n+1-b_n=a_n，其中b₁=2，求数列{b_n}的通项公式；

(Ⅲ)设c_n=，求证：c₁+c₂+…+c_n＜1．

Answer 1

解：(Ⅰ)∵na_n+1=S_n+n(n+1)  ①

∴(n-1)a_n=S_n-1+(n-1)n(n≥2)  ②

①-②整理得，a_n+1-a_n=2(n≥2)

又由①，取n=1得a₂-a₁=2，

∴a_n+1-a_n=2(n∈N^*)

∴数列{a_n}是以4为首项，2为公差的等差数列．

(Ⅱ)由(Ⅰ)知a_n=4+2(n-1)=2(n+1)，

∴b_n+1-b_n=2(n+1),

∴(b_n-b_n-1)+(b_n-1-b_n-2)+…+(b₃-b₂)+(b₂-b₁)

=2n+2(n-1)+…+2×3+2×2=n²+n-2，

∴b_n=n(n+1)．

(Ⅲ)由c_n=得，c_n=，

∴c₁+c₂+…+c_n=1-

=1-＜1．

证毕．