Question

已知圆C：（x-3）²+（y-4）²=4，
（1）若直线l₂的方程为3x+4y+75=0，判断直线l₂与圆C的位置关系；
（2）若直线l₁过定点A（1，0），且与圆C相切，求l₁的方程．

Answer 1

分析：（1）根据圆的标准方程找出圆心C的坐标与圆的半径r，利用点到直线的距离公式求出圆心到直线l₂的距离d，与半径r比较大小即可判断直线l₂与圆C的位置关系；
（2）当直线l₁的斜率不存在时，直线x=1满足题意；当斜率存在时，设斜率为k，表示出直线l₁方程，由直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于圆的半径，列出关于k的方程，求出方程的解得到k的值，即可确定出直线l₁方程，综上，得到所有满足题意的直线l₁方程．

解答：解：（1）由圆的方程得到圆心C（3，4），半径r=2，
∵圆心C到直线l₂：3x+4y+75=0的距离d=

9+16+75

5

=20＞2=r，
∴直线l₂与圆C的位置关系为相离；
（2）当直线l₁斜率不存在时，显然直线x=1满足题意；
当直线l₁斜率存在时，设直线l₁的方程为y=k（x-1），即kx-y-k=0，
∵直线l₁与圆C相切，
∴圆心到直线l₁的距离d=r，即

|3k-4-k|

k2+1

=2，
解得：k=

3

4

，即直线l₁为

3

4

x-y-

3

4

=0，即3x-4y-3=0，
综上，直线l₁的方程为直线x=1或3x-4y-3=0．

点评：此题考查了直线与圆的位置关系，以及圆的切线方程，当直线与圆相切时，圆心到切线的距离等于圆的半径，熟练掌握此性质是解本题的关键，此外注意第二问考虑两种情况．