Question

直线

2

ax+by=1与圆x²+y²=1相交于A、B两点（其中a，b是实数），且△AOB是直角三角形（O是坐标原点），则点P（a，b）与点（0，1）之间距离的最小值为（　　）

A．0

B． 2

C． 2 -1

D． 2 +1

Answer 1

根据题意画出图形，如图所示：
过O作OC⊥AB，因为△AOB为等腰直角三角形，所以O为弦AB的中点，
又|OA|=|OB|=1，根据勾股定理得：|AB|=

2

，
∴|OC|=

1

2

|AB|=

2

2

，
∴圆心到直线的距离为

1

2a2+b2

=

2

2

，即2a²+b²=2，即a²=-

1

2

b²+1，
∴-

2

≤b≤

2

，
则点P（a，b）与点（0，1）之间距离d=

(a-0)2+(b-1)2

=

a2+b2-2b+1

=

1 2 b2-2b+2

，
设f（b）=

1

2

b²-2b+2，此函数为对称轴为x=2的开口向上的抛物线，
∴当-

2

≤b≤

2

＜2时，函数为减函数，
∵f（

2

）=3-2

2

，
∴d的最小值为

3-2 2

=

( 2 -1)2

=

2

-1．
故选C