Question

设f（x）=sin2x+mcos2x，若对一切x∈R，都有f（x）≤f(

π

8

)，则f(

π

24

)=

6

2

．

Answer 1

分析：设出sinφ和cosφ，利用两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化为一个角的正弦函数，根据题意得到x=

π

8

时，函数取得最值，故把x=

π

8

代入函数解析式，求出的函数值等于最值±

m2+1

，列出关于m的方程，求出方程的解得到m的值，从而确定出函数解析式，把x=

π

24

的值代入即可求出f（

π

24

）的值．

解答：解：由题意知：
f（x）=sin2x+mcos2x=

m2+1

sin（2x+φ），（sinφ=

m

m2+1

，cosφ=

1

m2+1

）
由题意得：当x=

π

8

时函数f（x）=sin2x+mcos2x取到最值±

m2+1

，
将x=

π

8

代入可得：sin（2×

π

8

）+mcos（2×

π

8

）=

2

2

(m+1)=±

m2+1

，即m=1
∴f（x）=sin2x+mcos2x=sin2x+cos2x=

2

sin（2x+

π

4

），
则f（

π

24

）=

2

sin（2×

π

24

+

π

4

）=

2

sin

π

3

=

6

2

．
故答案为：

6

2

点评：此题考查了两角和与差的正弦函数，正弦函数的单调性，以及特殊角的三角函数值，灵活运用两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值把函数解析式化为一个角的正弦函数是本题的突破点．