Question

如图，已知AB是⊙O的直径，C为圆上任意一点，过C的切线分别与过A、B两点的切线交于P、Q．

求证：．

Answer 1

答案：略
解析：

证法1：连结OP、OQ，如图．∵AP、PQ、BQ为⊙O的切线， ∴∠1=∠2，∠3=∠4． ∵AP、BQ为⊙O切线，AB为直径，∴AB⊥AP，AB⊥BQ．∴AP∥BQ． ∴∠A=∠B=90°，∠1＋∠2＋∠3＋∠4=180°．∴∠1＋∠4=∠2＋∠3=90°． ∵∠1＋∠5=90°，∴∠4=∠5．∴△AOP∽△BQO．∴． ∵AB=2AO=2OB，∴． 证法2：连结OC．同上可证得∠2＋∠3=90°． ∵PQ切⊙O于C点，∴OC⊥PQ． 在Rt△PQO中，由射影定理可得， 利用切线长定理，有PC=AP，BQ=QC．， ∵AB=2OC，∴． 证法3：如图，过P作BQ的垂线PD，垂足为D． ∵AP、BQ、PQ切⊙O于A、B、C，∴∠A=∠B=90°，AP=PC，CQ=BQ． ∴四边形ABDP为矩形，PQ=AB＋BQ．∴AP=BD，AB=PD． 在Rt△PQD中，利用勾股定理得：， ∴． ∴．

提示：

分析：本题利用切线长定理以及相似三角形或勾股定理等，证法较多．