Question

已知圆C₁：x²+y²-2ax-2y+a²-15=0，圆C₂：x²+y²-4ax-2y+4a²=0（a＞0）．试求a为何值时，两圆C₁、C₂：
（1）相切；
（2）相交．

Answer 1

分析：（1）将两圆化成标准方程，算出圆心坐标和它们的半径．根据两圆相切的性质，利用两点间的距离公式建立关于a的等式，即可解出满足条件的实数a的值；
（2）根据两圆相交的性质，建立关于a的不等式，解之即可得出满足条件的实数a的取值范围．

解答：解：圆C₁化成标准方程：（x-a）²+（y-1）²=16，圆C₂化成标准方程：（x-2a）²+（y-1）²=1
∴点C₁、C₂的坐标为（a，1）、（2a，1），半径分别为R₁=4，R₂=1
（1）当两圆相切时，圆心距等于两圆半径的和或圆心距等于两圆半径差的绝对值
即|C₁C₂|=R₁+R₂=5或|C₁C₂|=|R₁-R₂|=3
即

(a-2a)2+(1-1)2

=|a|=5或3，解之得a=5或3（舍负）
∴a=5或3时，两圆C₁、C₂相切；
（2）当两圆相交时，圆心距小于两圆半径的和而大于两圆半径差的绝对值
即|R₁-R₂|＜

(a-2a)2+(1-1)2

＜R₁+R₂，
得3＜|a|＜5，解之得3＜a＜5（舍负）
∴3＜a＜5时，两圆C₁、C₂相交．

点评：本题给出含有参数的圆方程，在满足特殊位置关系情况下求参数的值或范围．着重考查了圆的方程、两圆位置关系和两点间的距离公式等知识，属于中档题．