Question

对任意的锐角α、β,下列不等关系中正确的是(　　)

    A.sin(α+β)＞sinα+sinβ　　

    B.sin(α+β)＞cosα+cosβ

    C.cos(α+β)＜sinα+sinβ

    D.cos(α+β)＜cosα+cosβ

      

Answer 1

解析:

        解法一:特殊值法:令α=β=30°,sin(α+β)=sin60°＜sin30°+sin30°=1.所以A不对.

sin(α+β)=sin60°＜cos30°+cos30°=3.?

       所以B不对.?

cos(α+β)=cos60°＜sin30°+sin30°,cos(α+β)=cos60°＜cos30°+cos30°,C、D无法判断正确与否.?

       再令α=β=1°,则cos(α+β)=cos2°,sinα+sinβ=2sin1°.?

       因为cos2°＞2sin1°,所以C不对.所以选D.

       解法二:通性通法:因为α、β是锐角,?

       所以0＜sinα＜1,0＜sinβ＜1,0＜cosα＜1,0＜cosβ＜1.?

       所以sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ＜sinα+sinβ.?

       所以A、B错.?

       因为0＜α＜α+β＜π,y=cosx在(0,π)内是减函数,?

       所以cosα＞cos(α+β).?

       因为cosβ＞0,所以cosα+cosβ＞cos(α+β).?

       所以D对.

答案:D