Question

17．已知函数，求

（1）函数的最大值及取得最大值的自变量的集合；

（2）函数的单调增区间．

Answer 1

本小题考查三角公式、三角函数的性质及已知三角函数值求角等基础知识，考查综合运用三角函数有关知识的能力，

（Ⅰ）解法一：∵f（x）=+sin2x+

=2+sin2x+cos2x

=2+sin（2x+）.

∴当2x+=2kπ+,即x=kπ+（k∈Z）时，f（x）取得最大值2+.

因此，f（x）取得最大值的自变量x的集合是{x|x=kπ+，（k∈Z）}.

解法二：∵f（x）=（sin²x+cos²x）+sin2x+2cos²x

                =1+sin2x+1+cos2x

                =2+sin（2x+）.

        ∴当2x+=2kπ+，即x=kπ+（k∈Z）时，f（x）取得最大值2+.

        因此，f（x）取得最大值的自变量x的集合是{x|x=kπ+，（k∈Z）}.

(Ⅱ)解：f（x）=2+sin（2x+），

由题意得2kπ-≤2x+≤2kπ+（k∈Z），即

kπ-π≤x≤kπ+（k∈Z）.

因此，f（x）的单调增区间是［kπ-π，kπ+］（k∈Z）.