Question

求所有的正整数，使得是一个完全平方数，且除了2或3以外，没有其他的质因数.

Answer 1

符合条件的值有6个，分别为64，108，288，864，1728，10368.

解析:

设，其中，则.

依题意，可设其中均为非负整数，于是

                   （1）…………………………5分

如果，则，这是不可能的.所以中至少有一个大于0，于是和均为偶数，从而均为正整数.

若，则，显然只可能（否则左右两边被4除的余数不相同），此时，显然只能是，此时.

                                                …………………………10分

若，则是4的倍数，从而也是4的倍数，故，此时

                                        （2）

显然中至少有一个应为0（否则（2）式左右两边奇偶性不相同）.

1）当，即时，                     （3）

此时（否则等式左右两边奇偶性不相同），故.

若，则（3）式左边是9的倍数，而右边为3，矛盾，故只可能，从而（3）式即，它只有两组解和即和此时，对应的值分别为24和96，相应的值分别为864和10368. …………………15分

2）当，即时，                     （4）

此时显然（否则等式左右两边奇偶性不相同），故.

若，则（4）式左边是9的倍数，而右边是3，无解.故.

若，则，只可能，此时.

若，则（4）式即，它只有两组解和即和此时，对应的值分别为12和36，相应的值分别为288和1728.

因此，符合条件的值有6个，分别为64，108，288，864，1728，10368.

                                                 …………………………20分