Question

如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是矩形，E、F分别是AB、PD的中点．若PA=AD=3，CD=

6

．
（Ⅰ）求证：AF∥平面PCE；
（Ⅱ） 求点F到平面PCE的距离；
（Ⅲ）求直线PC平面PCE所成角的正弦值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用三角形中位线的性质，得到线线平行，从而得到四边形是一个平行四边形，即可得到线线平行，根据线面平行的判断得到结论；
（Ⅱ）利用四棱锥P-AEGF的体积=三棱锥F-PEG体积的2倍=三棱锥F-PEC体积，即可求点F到平面PCE的距离；
（Ⅲ）在平面PCD内作FH⊥PC，则FH⊥平面PCE，得到∠FCH是FC与平面PCE所成的角，在这个可解的三角形中，求出角的正弦值．

解答：（Ⅰ）证明：设G为PC的中点，连接EG，FG
∵FG为△PCD的中位线，∴FG∥CD∥AE
又∵E为AB的中点，∴AE=FG
∴AEGF为平行四边形，∴AF∥EG
∵AF?平面PCE，EG?平面PCE，∴AF∥平面PCE；
（Ⅱ）解：设F到平面PEC的距离为h
∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥EA
又∵ABCD为矩形，∴EA⊥AD
∵PA∩AD=A，∴EA⊥平面PAD，∴AEGF为矩形
∵△PAD为等腰直角三角形，∴PF是棱锥P-AEGF的高
∴四棱锥P-AEGF的体积=

1

3

•PF•FG•AF=

1

3

•

3 2

2

•

6

2

•

3 2

2

=

3 6

4

∵PE=EC=

11

，PC=2

6

，∴由余弦定理可得cos∠PEC=-

1

11

，
∴sin∠PEC=

2 30

11

∴S_△PEC=

1

2

×

11

×

11

×

2 30

11

=

30

；
∵四棱锥P-AEGF的体积=三棱锥F-PEG体积的2倍=三棱锥F-PEC体积
∴

1

3

•

30

h=

3 6

4

，∴h=

9 5

20

∴F点到平面PEC的距离为

9 5

20

；
（Ⅲ）解：在平面PCD内作FH⊥PC，则FH⊥平面PCE
∴∠FCH是FC与平面PCE所成的角
在△FCH中，FH=

3 2

4

，FC=

42

2

，∴sin∠FCH=

21

14

∴直线FC与平面PCE所成角的正弦值为

21

14

点评：本题考查空间的点线面之间的位置关系和二面角的求法，考查点面距离的计算，属于中档题．