Question

已知周长为48的Rt△MPN中，∠MPN＝90°，tan∠PMN＝，求以M、N为焦点，且过P的双曲线方程．

Answer 1

答案：
解析：

解：∵△PMN的周长为48，且tan∠PMN＝， 　　∴设|PN|＝3k，|PM|＝4k(k＞0)，则|MN|＝5k．由3k＋4k＋5k＝48得k＝4， 　　∴|PN|＝12，|PM|＝16，|MN|＝20． 　　以MN所在直线为x轴，以MN的垂直平分线为y轴建立直角坐标系，则2a＝|PM|－|PN|＝4， 　　∴a＝2．而c＝10， 　　∴b2＝c2－a2＝100－4＝96． 　　故所求双曲线方程为＝1．

提示：

利用双曲线的定义确定点的轨迹方程时，要注意定义中的条件|F1F2|＞2a，若条件中，不能确定|F1F2|与2a的大小，需分类讨论．