Question

20.在如图所示的几何体中，EA⊥平面ABC，DB⊥平面ABC，AC⊥BC，且AC=BC=BD=2AE，M是AB的中点.

    (I)求证：CM ⊥EM：

    (Ⅱ)求DE与平面EMC所成角的正切值.

Answer 1

本题主要考查空间线面关系、空间向量的概念与运算等基础知识，同时考查空间想象能力和推理能力.

  方法一：

  (I)证明：因为AC=BC，M是AB的中点，

    所以CM⊥AB.

    又EA ⊥平面ABC，   

    所以CM⊥EM.

(Ⅱ)解：连结MD,设AE=,

则BD=BC=AC=2,

在直角梯形EABD中,

AB=,M是AB的中点,

所以DE=3,EM=,MD=

因此DM⊥EM,

因为CM⊥平面EMD,

所以CM⊥DM,

因此DM⊥平面EMC,

故∠DEM是直线DE和平面EMC所成的角.

在Rt△EMD中,

MD=EM=,

tan∠DEM=方法二：

如图，以点为坐标原点，以，分别为轴和轴，过点作与平面垂直的直线为轴，建立直角坐标系，设，则，，.，.

（I）证明：因为，，

所以，

故.（II）解：设向量与平面EMC垂直，则n⊥, n⊥,

即n·=0,n·=0.

因为, ,

所以y₀=﹣1,z₀₌﹣2,

即n=(1, ﹣1, ﹣2).

因为=(),

cos＜n, ＞=

DE与平面EMC所成的角θ是n与夹角的余角，

所以tanθ=.