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    已知数列{xn}满足：x1=1，xn+1=
    5(1+xn)
    5+xn
    (n∈N*)    ．
    （1）证明：xn＜xn+1（n∈N*）；
    （2）证明：
    		5
    -xn＜2•(
    4
    5
    )n-1(n∈N*)    ．
    分析：（1）由条件xn+1-xn=
    20
    (5+xn)(5+xn-1)
    •(xn-xn-1)    ，故只需判断其大于0即可；
    （2）构造an=
    xn+
    		5
    xn-
    		5
    ，利用分析法证明，欲证
    		5
    -xn＜2•(
    4
    5
    )    n-1    (n∈N*)    ，即证
    		5
    -xn＜2•(
    4
    5
    )    n-1    ，从而可证．
    解答：解：（1）证明：xn+1-xn=
    20
    (5+xn)(5+xn-1)
    •(xn-xn-1)    由条件，显然xn＞0，∴xn+1-xn，xn-xn-1符号相同，依次迭代可知，∴xn+1-xn，x2-x1符号相同，而x2-x1＞0，∴xn+1-xn＞0，即xn＜xn+1（n∈N*）；
    （2）令an=
    xn+
    		5
    xn-
    		5
    ，∴
    an+1
    an
    = 
    		5
    +1
    		5
    -1
    ，∴an=-(
    		5
    +1
    		5
    -1
    )    n    ，∴an-1=-(
    		5
    +1
    		5
    -1
    )    n    -1    ，∴
    		5
    -xn=
    2
    		5
    1+(
    		5
    +1
    		5
    -1
    )    n

    欲证
    		5
    -xn＜2•(
    4
    5
    )    n-1    (n∈N*)    ，即证
    		5
    -xn＜2•(
    4
    5
    )    n-1    ，即证
    1
    		5
    +
    3+
    		5
    2
    		5
    •(
    3+
    		5
    2
    )    n-1    ＞(
    4
    5
    )    n-1
    ∵
    3+
    		5
    2
    		5
    ＞ 1， (
    3+
    		5
    2
    )    n-1    ＞(
    4
    5
    )    n-1    ，∴
    3+
    		5
    2
    		5
    •(
    3+
    		5
    2
    )    n-1    ＞(
    4
    5
    )    n-1    ，∴
    1
    		5
    +
    3+
    		5
    2
    		5
    •(
    3+
    		5
    2
    )    n-1    ＞(
    4
    5
    )    n-1    得证．
    点评：本题考查数列的性质和应用，解题时要认真审题，注意分析法的证明过程．
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    已知数列{xn}满足x2=
    1
    2
    x1，xn=
    1
    2
    （xn-1+xn-2）（n=3，4，5，…），若
    lim
    n→∞
    xn=2    ，则x1=
     
    ．

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    数列{an}中，如果存在非零常数T，使得an+T=an对于任意的非零自然数n均成立，那么就称数列{an}为周期数列，其中T叫做数列{an}的周期．已知数列{xn}满足xn+1=|xn-xn-1|（n≥2），如果x1=1，x2=a（a∈R，a≠0），当数列{xn}的周期为3时，求该数列前2009项和是
    1339+a
    1339+a
    ．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知数列{xn}满足：x1=1且xn+1=
    xn+4
    xn+1
    ，n∈N*    ．
    （1）计算x2，x3，x4的值；
    （2）试比较xn与2的大小关系；
    （3）设an=|xn-2|，Sn为数列{an}前n项和，求证：当n≥2时，Sn≤2-
    2
    2n
    ．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知数列{xn}满足：x1∈(0，1)，xn+1=
    xn(
    x
    2
    n
    +3)
    3
    x
    2
    n
    +1
    (n∈N*    ）．
    （1）证明：对任意的n∈N*，恒有xn∈（0，1）；
    （2）对于n∈N*，判断xn与xn+1的大小关系，并证明你的结论．

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