Question

在数列{a_n}中，a₁=2，a_n+1=4a_n-3n+1，n∈N^*，
（Ⅰ）证明：数列{a_n-n}是等比数列；
（Ⅱ）设b_n=na_n-n²-n，求数列{b_n}的前n项和S_n；

Answer 1

分析：（Ⅰ）把题设整理成a_n+1-（n+1）=4（a_n-n）的样式进而可知

an+1-(n+1)

an-n

=4为常数，判定数列{a_n-n}是等比数列．
（Ⅱ）由（Ⅰ）中的首项和公比可求得{a_n-n}的通项公式，进而根据题设求得数列{b_n}的通项公式，进而根据错位相减法求得数列{b_n}的前n项和S_n．

解答：（Ⅰ）证明：由题设a_n+1=4a_n-3n+1，
得a_n+1-（n+1）=4（a_n-n），n∈N₊
又a₁-1=1≠0∴

an+1-(n+1)

an-n

=4
∴数列{a_n-n}是首项为1，且公比为4的等比数列
（Ⅱ）解：由（1）可知a_n-n=4^n-1
而b_n=n（a_n-n）-n=n•4^n-1-n
∴S_n=1•4⁰+2•4¹+3•4²+n•4^n-1-（1+2+3+n）T_n
=1•4⁰+2•4¹+3•4²+n•4^n-1①
4T_n=1•4¹+2•4²+3•4³+（n-1）•4^n-1+n•4ⁿ②
由①-②得：-3T_n=1+4+4²+4^n-1-n•4ⁿ=

1-4n

1-4

-n•4n=

4n-1

3

-n•4n
∴Tn=

1-4n

9

+

n•4n

3

=

1

9

+(

n

3

-

1

9

)•4n
=

(3n-1)•4n

9

+

1

9

=

(3n-1)•4n+1

9

Sn=

(3n-1)•4n+1

9

-

n(n+1)

2

点评：本题主要考查了等比数列的判定和数列的求和问题．当数列是由等比和等差数列构成时，常可用错位相减法求的数列的前n项和．