Question

f(x)＝x²－4x－4，x∈[t，t＋1]，t∈R，求：

(1)f(x)的最小值g(t)的解析式；

(2)求g(t)的最小值．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)∵f(x)＝(x－2)2－8，∴f(x)的对称轴是直线x＝2． 　　当2∈[t，t＋1]，即t≤2≤t＋1时，1≤t≤2，g(t)＝f(2)＝－8； 　　当2＞t＋1，即t＜1时，f(x)在[t，t＋1]上随x增大f(x)减小． 　　∴g(t)＝f(t＋1)＝t2－2t－7． 　　当t＞2时，f(x)在[t，t＋1]上随x增大f(x)增大， 　　∴g(t)＝f(t)＝t2－4t－4． 　　综上可得g(t)＝t 　　(2)当t＜1时，g(t)＝t2－2t－7＝(t－1)2－8＞－8； 　　当1≤t≤2时，g(t)＝－8； 　　当t＞2时，g(t)＝t2－4t－4＝(t－2)2－8＞－8， 　　则g(t)的最小值是－8．

提示：

(1)易得函数的对称轴为x＝2，之后分对称轴在区间[t，t＋1]左、内、右分段得出最小值的解析式．(2)g(t)是分段函数，各段上最小值中的最小值是g(t)的最小值．