Question

已知y=a-bcos3x（b＞0）的最大值为

3

2

，最小值为-

1

2

．
（1）求a，b的值；
（2）求函数y=-4asin（3bx）的周期；
（3）函数y=-4asin（3bx）最小值的x的取值集合；
（4）判断其奇偶性．

Answer 1

分析：（1）由题意可得

ymax=a+b= 3 2 ymin=a-b=- 1 2

，由此求得a，b的值．
（2）由（1）可得函数y=-4asin（3bx）=-2sin3x，由此求得函数的周期T．
（3）当3x=2kπ+

π

2

，k∈Z，函数取得最小值，由此求得函数取得最小值的x的取值集合．
（4）函数的定义域为R，f且（-x）=-f（x），故函数为奇函数．

解答：解：（1）∵y=a-bcos3x的最大值为

3

2

，最小值为-

1

2

，b＞0，
∴

ymax=a+b= 3 2 ymin=a-b=- 1 2

，解得

a= 1 2 b=1

．
（2）由上可得函数y=-4asin（3bx）=-2sin3x，∴此函数的周期T=

2π

3

．
（3）令3x=2kπ+

π

2

，即 x=

2kπ

3

+

π

6

（k∈Z）时，函数取得最小值-2．
故函数取得最小值时，x的取值集合为{x|x=

2kπ

3

+

π

6

，k∈Z}．
（4）∵函数解析式f（x）=-2sin3x，定义域为R，
 且f（-x）=-2sin（-3x）=2sin3x=-f（x），
∴y=-2sin3x为奇函数．

点评：本题主要考查正弦函数的定义域和值域，周期性和奇偶性，属于中档题．