Question

．．（本小题满分14分）定义在上的函数，如果满足；对任意，存在常数，都有成立，则称是上的有界函数，其中称为函数的上界.已知函数.
（Ⅰ）当时，求函数在上的值域，并判断函数在上是否为有界函数，请说明理由；
（Ⅱ）若是上的有界函数，且的上界为3，求实数的取值范围；
（Ⅲ）若，求函数在上的上界的取值范围.

Answer 1

解：（Ⅰ）当时，.
∵在上递增，所以，
即在上的值域为.    …………………………… 2分
故不存在常数，使成立.
所以函数在上不是有界函数.………………………… 4分
（Ⅱ）∵函数在上是以3为上界的有界函数，
在上恒成立. ,
在上恒成立.
…………………………………… 6分
设，，.
由,得.设，则
，，
所以在 上递增，在上递减.
在上的最大值为，在上的最小值为.
所以实数的取值范围为. ……………………………………… 9分
（Ⅲ）解法一:，.
∵，,.
∴，
∵
∴. …………………………………………… 11分
①当即时，　，此时；
②当即时，，此时.
综上所述，当时，的取值范围是；
当时，的取值范围是………… 14分
解法二：.令，因为，所以.
.
因为在上是减函数，所以.………… 11分
又因为函数在上的上界是，所以.
①当即时，；
②当即时，.…………… 14分

略