Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，PD上⊥平面ABCD，AD⊥CD，且BD平分∠ADC，E为PC的中点，AD=CD=l，BC=PC，DB=2

2

（Ⅰ）证明PA∥平面BDE；
（Ⅱ）证明AC⊥平面PBD：
（Ⅲ）求四棱锥P-ABCD的体积．

Answer 1

分析：（Ⅰ）设AC∩BD=H，连接EH，说明H为AC的中点，证明EH∥PA，利用直线与平面平行的判定定理证明PA∥平面BDE；
（Ⅱ）通过直线与平面垂直证明PD⊥AC，然后证明AC⊥平面PBD：
（Ⅲ）求出S_ABCD，然后求四棱锥P-ABCD的体积．

解答：（Ⅰ）证明：设AC∩BD=H，连接EH，
在△ADC中，因为AD=CD，且DB平分∠ADC，
所以H为AC的中点，
又E为PC的中点，从而EH∥PA，
因为HE?平面BDE，PA?平面BDE，
所以PA∥平面BDE；
（Ⅱ）证明：因为PD⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，所以PD⊥AC，
由（I）知BD⊥AC，PD∩BD=D，PD?平面PBD，BD?平面PBD，
从而AC⊥平面PBD：
（Ⅲ）解：在△BCD中，DC=1，DB=2

2

，∠BDC=45°
得BC²=1²+（2

2

）²-2×1×2

2

cos45°=5，
∴BC=

5

．
在Rt△PDC中，PC=BC=

5

，DC=1，从而PD=2，
S_ABCD=2S_△BCD=2，故四棱锥P-ABCD的体积V_P-ABCD=

4

3

．

点评：本题考查直线与平面垂直的判定，棱柱、棱锥、棱台的体积，直线与平面平行的判定，考查空间想象能力，逻辑推理能力，计算能力．