Question

在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M，N分别为棱AA₁和B₁B的中点，若θ为直线CM与D₁N所成的角，则sinθ=（　　）

• A．

  1

  9

• B．

  2

  3

• C．

  2 5

  9

• D．

  4 5

  9

Answer 1

分析：先建立空间直角坐标系，写出相关点的坐标和相关向量的坐标，最后利用向量夹角公式计算异面直线所成的角的余弦值，然后化为正弦值即可

解答：解：如图：建立空间直角坐标系，设正方体边长为2，
则D₁（0，0，2），N（2，2，1），C（0，2，0），M（2，0，1）
∴

CM

=（2，-2，1），

D1N

=（2，2，-1）
∴cos＜

CM

，

D1N

＞=

CM •  D1N

| CM |×  |D1N |

=

4-4-1

4+4+1 4+4+1

=-

1

9

∴cosθ=

1

9

∴sinθ=

1-( 1 9 )2

=

4 5

9

故选 D

点评：本题考查了异面直线所成的角的求法，利用空间直角坐标系和空间向量计算异面直线所成的角的方法