Question

18．已知抛物线y²=2px（p＞0）与双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）有相同的焦点F，若点A是抛物线与双曲线的一个交点，且AF⊥x轴，则双曲线的离心率为（　　）

• A． $\frac{\sqrt{5}+1}{2}$
• B． $\sqrt{2}$+1
• C． $\sqrt{3}$+1
• D． $\frac{2\sqrt{2}+1}{2}$

Answer 1

分析 根据抛物线和双曲线有相同的焦点求得p和c的关系，根据AF⊥x轴可判断出|AF|的值和A的坐标，代入双曲线方程与p=2c，b²=c²-a²联立求得a和c的关系式，然后求得离心率e．

解答 解：∵抛物线的焦点和双曲线的焦点相同，
∴p=2c
∵A是它们的一个公共点，且AF垂直x轴，
设A点的纵坐标大于0，
∴|AF|=p，
∴A（$\frac{p}{2}$，p），
∵点A在双曲线上，
∴$\frac{{p}^{2}}{4{a}^{2}}-\frac{{p}^{2}}{{b}^{2}}$=1，
∵p=2c，b²=c²-a²，
∴$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{4{c}^{2}}{{c}^{2}-{a}^{2}}$=1，
化简得：c⁴-6c²a²+a⁴=0，
∴e⁴-6e²+1=0，
∵e²＞1，
∴e²=3+2$\sqrt{2}$
∴e=$\sqrt{2}$+1，
故选：B

点评 本题主要考查关于双曲线的离心率的问题，属于中档题，本题利用焦点三角形中的边角关系，得出a、c的关系，从而求出离心率．