Question

已知圆x²+y²+x-6y+m=0和直线x+2y-3=0交于P，Q两点，且OP⊥OQ（O为坐标原点），求该圆的圆心坐标及半径.

Answer 1

圆心坐标为,半径r=

解析:

方法一  将x=3-2y,

代入方程x²+y²+x-6y+m=0,

得5y²-20y+12+m=0.

设P（x₁,y₁）,Q(x₂,y₂),则y₁、y₂满足条件：

y₁+y₂=4,y₁y₂=

∵OP⊥OQ,∴x₁x₂+y₁y₂=0.

而x₁=3-2y₁,x₂=3-2y₂.

∴x₁x₂=9-6(y₁+y₂)+4y₁y₂.

∴m=3,此时Δ＞0,圆心坐标为,半径r=.

方法二 如图所示，设弦PQ中点为M，

∵O₁M⊥PQ，∴.

∴O₁M的方程为:y-3=2,

即：y=2x+4.

由方程组

解得M的坐标为（-1，2）.

则以PQ为直径的圆可设为（x+1）²+（y-2）²=r².

∵OP⊥OQ，∴点O在以PQ为直径的圆上.

∴（0+1）²+（0-2）²=r²，即r²=5,MQ²=r².

在Rt△O₁MQ中，O₁Q²=O₁M²+MQ².

∴(3-2)²+5=

∴m=3.∴半径为,圆心为.

方法三 设过P、Q的圆系方程为

x²+y²+x-6y+m+(x+2y-3)=0.

由OP⊥OQ知，点O（0，0）在圆上.

∴m-3=0，即m=3.

∴圆的方程可化为

x²+y²+x-6y+3+x+2y-3=0

即x²+(1+)x+y²+2(-3)y=0.

∴圆心M，又圆在PQ上.

∴-+2（3-）-3=0，

∴=1，∴m=3.

∴圆心为，半径为.