Question

如图，ABCD是边长为2的正方形，AF⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，DE=2AF，BE与平面ABCD所成角为45°．
（Ⅰ）求证：AC⊥平面BDF；
（Ⅱ）求证：AC∥平面BEF；
（Ⅲ）求几何体EFABCD的体积．

Answer 1

分析：（I）根据线面垂直的性质，得DE⊥AC．结合正方形对角线AC⊥BD，利用线面垂直的判定定理可得AC⊥平面BDE．
（II）延长DA，EF相交于点M，连接BM，根据三角形中的比例线段结合题中数据，可证出四边形AMBC为平行四边形，从而AC∥MB，再根据线面平行的判定可得AC∥平面BEF．
（III）由（II）可知：几何体EFABCD的体积等于V_{四棱锥E-MBCD}-V_{四棱锥F-MAB}．分别求出直角梯形CDMB的面积和三角形ABM的面积，结合锥体体积公式，求出V_{四棱锥E-MBCD}和V_{三棱锥F-MAB}，再相减即可得到几何体EFABCD的体积．

解答：解：（I）∵DE⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，∴DE⊥AC．
∵ABCD是正方形，∴AC⊥BD，
∵BD、DE是平面BDE内的相交直线，
∴AC⊥平面BDE．
（II）延长DA，EF相交于点M，连接BM，
∵AF⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，∴AF∥DE，
∵△MDE中，DE=2AF，∴AM=AD=2，
∵AD∥BC且AD=BC，
∴AM∥BC且AM=BC，可得四边形AMBC为平行四边形，
∴AC∥MB，
又∵MB?平面BEF，AC?平面BEF，
∴AC∥平面BEF．
（III）由（II）可知：几何体EFABCD的体积等于V_{四棱锥E-MBCD}-V_{三棱锥F-MAB}．
∵DM=DA+AM=4，BC=2，CD=2，四边形MBCD为直角梯形，
∴S_MBCD=

1

2

（4+2）2=6，S△ABM=

1

2

×2×2=2
又∵AF⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，DE=2AF，AF=

2

，DE=2

2

，
∴几何体EFABCD的体积为V=

1

3

×6×2

2

-

1

3

×2×

2

=

10 2

3

点评：本题在特殊的四棱锥中求证线面垂直和线面平行，并且求几何体的体积，着重考查了线面平行、垂直的判定和组合几何体体积的求法等知识，属于基础题．