Question

已知函数f(x)=4cosxsin(x+

π

6

)-1．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期及单调增区间；
（Ⅱ）求f（x）在区间[-

π

6

，

π

4

]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析：将函数解析式先利用两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化简，整理后再利用二倍角的正弦、余弦函数公式化简，最后利用两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化为一个角的正弦函数，
（Ⅰ）找出ω的值，代入周期公式，即可求出f（x）的最小正周期，由正弦函数的递增区间即可求出函数f（x）的单调增区间；
（Ⅱ）又x的范围，求出这个角的范围，利用正弦函数的图象与性质求出函数f（x）的值域，即可得到f（x）的最大值与最小值．

解答：解：f（x）=4cosx（

3

2

sinx+

1

2

cosx）-1
=2

3

sinxcosx+2cos²x-1
=

3

sin2x+cos2x
=2sin（2x+

π

6

），
（Ⅰ）∵ω=2，∴T=π；
令2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

，k∈Z，解得：kπ-

π

3

≤x≤kπ+

π

6

，k∈Z，
则f（x）的单调增区间为[kπ-

π

3

，kπ+

π

6

]，k∈Z；
（Ⅱ）∵-

π

6

≤x≤

π

4

，∴-

π

6

≤2x+

π

6

≤

2π

3

，
∴-1≤2sin（2x+

π

6

）≤2，即-1≤f（x）≤2，
则f（x）的最小值为-1，最大值为2．

点评：此题考查了两角和与差的正弦函数公式，二倍角的正弦、余弦函数公式，正弦函数的单调性，以及正弦函数的定义域与值域，熟练掌握公式是解本题的关键．