Question

在一个特定时段内，以点E为中心的7海里以内海域被设为警戒水域.点E正北55海里处有一个雷达观测站A.某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点A北偏东且与点A相距40海里的位置B，经过40分钟又测得该船已行驶到点A北偏东+(其中sin=，)且与点A相距10海里的位置C.

（I）求该船的行驶速度（单位：海里/时）;

（II）若该船不改变航行方向继续行驶.判断它是否会进入警戒水域，并说明理由.

Answer 1

解   （I）如图，AB=40，AC=10，

由于0<<,所以cos=

由余弦定理得

所以船的行驶速度为（海里/小时）.

（II）解法一   如图所示，以A为原点建立平面直角坐标系，

设点B、C的坐标分别是

B（x₁，y₁）, C（x₂，y₂）,BC与x轴的交点为D.

由题设有，x₁=y₁= AB=40,

x₂=ACcos,

y₂=ACsin.

所以过点B、C的直线l的斜率k=,直线l的方程为y=2x-40.

又点E（0，-55）到直线l的距离d=

所以船会进入警戒水域.

解法二  如图所示，

设直线AE与BC的延长线相交于点Q.在△ABC中，由余弦定理得，

===.

从而

在中，由正弦定理得，

AQ=

由于AE=55>40=AQ，所以点Q位于点A和点E之间，且QE=AE-AQ=15.

过点E作EPBC于点P，则EP为点E到直线BC的距离.

在Rt中，

PE=QE·sin

=

所以船会进入警戒水域.