Question

如图，已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD是菱形；PA⊥平面ABCD，PA=AD=AC，点F为PC的中点．
（Ⅰ）求证：PA∥平面BFD；
（Ⅱ）求二面角C-BF-D的余弦值．

Answer 1

（Ⅰ）证明：连结AC，BD与AC交于点O，连结OF．…（1分）
∵ABCD是菱形，∴O是AC的中点．…（2分）
∵点F为PC的中点，∴OF∥PA．…（3分）
∵OF?平面BFD，PA?平面BFD，∴PA∥平面BFD．…（6分）
（Ⅱ）如图，以点A为坐标原点，线段BC的垂直平分线所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，AP所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，令PA=AD=AC=1，
则A(0，0，0)，P(0，0，1)，C(

3

2

，

1

2

，0)，B(

3

2

，-

1

2

，0)，D(0，1，0)，F(

3

4

，

1

4

，

1

2

)．
∴

BC

=(0，1，0)，

BF

=(-

3

4

，

3

4

，

1

2

)．  …（8分）
设平面BCF的一个法向量为

n

=（x，y，z），
由

n

⊥

BC

，

n

⊥

BF

，得

y=0 - 3 4 x+ 3 4 y+ 1 2 z=0

，∴

y=0 z= 3 2 x

，
令x=1，则z=

3

2

，∴

n

=(1，0，

3

2

)．…（10分）
∵PA⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，
∴PA⊥AC．
∵OF∥PA，∴OF⊥AC．
∵ABCD是菱形，∴AC⊥BD．
∵OF∩BD=O，∴AC⊥平面BFD．
∴

AC

是平面BFD的一个法向量，

AC

=(

3

2

，

1

2

，0)．
∴cos?

AC

，

n

＞=

AC • n

| AC |•| n |

=

3 2

1+ 3 4 ×1

=

21

7

，
∴二面角C-BF-D的余弦值是

21

7

．…（12分）