Question

已知函数
（1）证明：函数f（x）是奇函数．
（2）证明：对于任意的非零实数x恒有x f（x）＜0成立．

Answer 1

解：（1）∵函数，
∴…．
=…．
又函数f（x）的定义域为R，故函数f（x）为奇函数．…．
（2）证明：令g（x）=x f（x）由（1）易知函数g（x）为偶函数，…．
当x＞0时，由指数函数的单调性可知：2^x＞1，
∴1+2^x＞2，…．
，
∴，
故x＞0时有x f（x）＜0．…．
又g（x）=x f（x）是偶函数，当x＜0时，-x＞0，
∴当x＜0时g（x）=g（-x）＜0，即对于x≠0的任何实数x，均有x f（x）＜0．…．
分析：（1），由此能求出函数f（x）的定义域为R，从而证明函数f（x）为奇函数．
（2）令g（x）=x f（x）由（1）易知函数g（x）为偶函数，由此能够证明对于x≠0的任何实数x，均有x f（x）＜0．
点评：本题考查奇函数的证明，考查不等式的证明，解题时要认真审题，仔细解答，注意函数的奇偶性的合理运用．