Question

如下图，在四棱锥P－ABCD中，侧棱PA⊥底面ABCD，AD∥BC，∠ABC＝，，．

(Ⅰ)求点D到平面PBC的距离；(Ⅱ)求二面角C－PD－A的大小．

Answer 1

答案：
解析：

(Ⅰ)如图，在四棱锥P－ABCD中， 　　∵BC∥AD，从而点D到平面PBC间的距离等于点A到平面PBC的距离． 　　∵∠ABC＝，∴AB⊥BC，又PA⊥底面ABCD，∴PA⊥BC， 　　∴BC⊥平面PAB，　　2分 　　∴平面PAB⊥平面PBC，交线为PB，过A作AE⊥PB，垂足为E，则AE⊥平面PBC， 　　∴AE的长等于点D到平面PBC的距离．而，∴．　　5分 　　即点D到平面PBC的距离为．　　6分 　　(Ⅱ)∵PA⊥底面ABCD，∴平面PAD⊥底面ABCD， 　　引CM⊥AD于M，MN⊥PD于N，则CM⊥平面PAD， 　　∴MN是CN在平面PAD上的射影， 　　由三垂线定理可知CN⊥PD， 　　∴∠CNM是二面角的平面角．　　9分 　　依题意，， 　　∴，∴， 　　可知，∴， 　　，∴二面角的大小为　　12分 　　解法二：如图，A为原点，分别以AD、AB、AP为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系． 　　(Ⅰ)依题意，， 　　∴， 　　∴．则，，， ， 　　∴，，． 　　设平面PBC的一个法向量为，则 　　令，得， 　　则点D到平面PBC的距离等于．　　6分 　　(Ⅱ)∵AB⊥PA，AB⊥AD，∴AB⊥底面PDA，∴平面PDA的一个法向量为． 　　设平面PDC的一个法向量为， 　　∵，，∴ 　　令，得，∴． 　　∵二面角C－PD－A是锐二面角，∴二面角C－PD－A的大小为．　　12分